Jenis-jenis Himpunan

JENIS-JENIS HIMPUNAN

1. himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
2. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
3. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.
4. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
   contohnya A= {b,c,d}
   B={d,c,b}
   A=B
5. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
   Contohnya A= {b,c,d}
   B={d,c,b}
   A jumlahnya sama dengan B
6. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
   contohnya:
   A = {1,3,5,7,9}
   himpunan semestanya berupa:
   S = {bilangan asli}
   S = {bilangan cacah}
   S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
7. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
   contohnya
   B = {a,c,e}
   A = {a,b,c,d,e}
   jadi B bagian dari A.
8. Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
   Contohnya
   A = (a,b,c,d,e}
   maka a elemen A
9. Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
   Contohnya
   A = {d,e,f}
   B = {g,h,i}
   maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
10. bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
    contohnya
    A = {a,b,c,d}
    e bukan anggota himpunan A.
11. Himpunan biolangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
    contoh
    K = {0,1,2,3,4,5}
12. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
    Contohnya
    D = {1,2,3,4,}
13. himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
    contohnya
    G = {2,4,6,8,10}
14. himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
    contohnya
    K = {1,3,5,7}
15. himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor
    contohnya
    Y = {2,3,,5,7}
16. himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.
    Contohnya
    Y = {0^2,1^2,3^2)

SOAL UAS MATEMATIKA DISKRIT SEMESTER GENAP 2012

1.Berdasarkan graph diatas, tentukanlah :

a. Size, Order, dan Density

b. Apakah graph tersebut termasuk graph planar? jelaskan secara singkat dan gambarkan?

c.Matriks ketetanggan (adjacency matrix)

2.Berdasarkan grapgh tersebut di atas:

a. Gunakan Algoritma Dijkstra, carilah lintasan terpendek dari vertex A ke vertex Y kemudian tulis masing-masing langkahnya dan lintasan yang dihasilkan!\

b.Berapa depth (asumsi akarnya adalah node A ==> asumsi graph yang dihasilkan adalah tree) dan panjang panjang lintasan yang dihasilkan?

c.Jika vertex A diasumsikan sebagai root (asumsi graph yang dihasilkan adalah tree) tentukan hasil penelusuran preorder dan postorder

3.Berdasarkan graph tersebut diatas:

a. Gunakan Algoritma Prim atau kruskal (pilih salah satu), carilah minimum spaning tree kemudian tulis masing-masing langkahnya dan pohon yang dihasilkan?

b.Berapa height (asumsi akarnya adalah node A) dan bobot dari pohon yang dihasilkan?

c. Jika vertex A diasumsikan sebagai root tentukan hasil penelusuran preorder dan postorder

4.Diketahui text berikut:

Text Ganjil: AyuN-AYuNanS

Text Genap: SoSoroDOTan

Berdasarkan string diatas:

a.Tulis pohon Huffman yang dihasilkan dan huffman code yang dihasikan?

b.Tulis text baru berdasarkan huffman code tersebut!

5.Diketahui Algoritma seperti berikut ini:

<br /> FOR A= 1 TO N DO<br /> FOR B= 1 TO N DO<br /> FOR C= 1 TO B DO<br /> IF (C MOD 2 == 0)THEN<br /> Z[A,B]<-- Z[A,B]+X[A,B]*Y[B,C] <br /> END IF <br /> END FOR <br /> END FOR<br /> END FOR

Dari Algo diatas:

a. Hitung Tmin(n) dan Tmax(n) dari algoritma tersebut??

b.Buktikan bahwa algoritma tersebut termasuk O(n^3)?

Referensi Belajar matematika diskrit!

Coba Selesaikan dalam waktu 90 menit -___- !!!

Belajar Himpunan (Matematika Diskrit)

Halooo..

Masih ingatkah kawan-kawan pada saat kita SMP ato SMA pernah mempelajari materi matematika yang namanya Himpunan (Set)? Hayo inget-inget lagi yah.. apa itu himpunan?? ;)

Oke, pada posting kali ini diriku mau berbagi pengalaman tentang materi "Matematika Diskrit" yaitu Himpunan, sebenarnya himpunan itu ada berapa jenis sih? dan apa aja sih Operasi-operasinya? ^^   ehehe  tenang kawan jangan langsung kabur en close tab karena keliatannya pusing! karena sebenarnya matematika diskrit ini tidak sesulit seperti yang anda bayangkan, asal kita mau berusaha baca buku/referensi lainnnya dan berlatih soal latihan secara kontinu, pasti kalian bisa dan paham bener!! masa sih???  ia tergantung orangnya juga sih, kalo males ya susah .. kalo pengen bener-bener bisa dalam istilah bahasa sunda mah  "Allahuma paksakeun" atau di paksakan membaca,memahami dan berlatih hingga terbiasa pasti kita akan mendapat hasil yang baik pada akhirnya. Oke langsung ke pembahasan materi  ja deh -->

sry banyak bacotnye diatas  =P

1. Apa itu Himpunan (Set)?

Definisi : Himpunan adalah sekumpulan objek diskrit yang memiliki sifat tertentu dan memiliki objek yang berbeda. Objek ini selanjutnya dinamakan yaitu anggota atau elemen dari himpunan tersebut.

Notasi 

• Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A,B,C,H,K dan sebagainya. Untuk  menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{}”, sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a,b,c,x,y dan sebagainya. 

• Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” di baca anggota sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang  "∉ " di baca bukan anggota.

Teknik Penyajian

1. Enumerasi : artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal . Biasanya  suatu himpunan di beri nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan simbol-simbol lainnya. 
2. Notasi pembentuk himpunan  ,  Notasi: {x| syarat yang harus dipenuhi oleh x}
3. Diagram Venn

• Contoh Enumerasi

         A = {a,b{a,b,c},{a,c}}

• Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

          Jika B himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 8 dinyatakan kedalam bentuk notasi : 

          B = {x | x ∈ p, x < 8}

          B = {1,2,3,4,5,6,7}

• Contoh Diagram Venn

          Diket  U = {1,2,3,4} 

          a = {1,3,4}

          b= {1,2,3}

          a∩b =  (a ber irisan dengan b, merupakan a ⊂ b dan b ⊂ a) 

2. Ada berapakah jenis-jenis himpunan ? 


Jenis Himpunan lumayan banyak juga kawan, jadi kita harus benar-benar memahami setiap jenisnya dan perbedaanya, supaya dalam mengerjakan soal tidak keliru menggunakan cara dan rumusnya :)

1. Himpunan Kosong

Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

Soal. a) Buktikan apakah semua nama hari yang berawal dengan angka numerik itu himpunan kosong?

Penyelesaian: 

a) Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}  ≠   H = {Senin, selasa, rabu , kamis, jumat, sabtu, minggu},

maka semua nama hari yang dimulai dengan angka numerik adalah = 0 , jadi  A ≠ ∅ atau A bukan himpunan kosong, karena himpunan kosong itu jika A = 0 atau {}.

2. Himpunan Bagian

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.


Soal. a) Buktikan apakah  A = {1,2,3,4} adalah himpunan bagian dari,  B = {1,2,3,4,5,6,7} ?

Soal. b) Diketahui C = {1,3,5} adalah sub himpunan sejati dari D = {5,4,3,2,1} buktikan apakah termasuk himpunan bagian? lihat soal baik^2!


Soal. c) Diketahui G = {1,3,5} dan F = {5,4,3,2,1}, Apakah G ⊆ F ,  benar atau salah buktikan?




Penyelesaian:

a) Untuk menunjukan bahwa A adalah himpunan bagian dari B, bahwa setiap elemen di dalam A juga elemen di dalam B, maka A ⊆ B = {1,2,3,4} adalah benar. 
Kenapa {5,6,7} tidak di termasuk? karena elemen 5,6,7 bukan merupakan elemen himpunan bagian dari A .

b) Karena setiap unsur C merupakan unsur D, lalu unsur 2 dan 4 merupakan unsur D, tetapi bukan merupakan unsur C, sehingga C ⊆ D adalah benar atau  di baca  C merupakan himpunan bagian D.


c) F ⊈ G jika dan hanya jika G ⊆ F = {4,2}, namun anggota himpunan F = {5,3,1} merupakan bagian dari himpunan G = {1,3,5} maka  G ⊆ F = {1,3,5} adalah benar.


3. Himpunan sama

Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A 

Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

 1.Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.

Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.

Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

Soal. a) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {5,3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?


Soal. b) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?


Soal. c) Jika A = {a,a,a,b,c,d} dan B = {c,a,a,c} Apa himpunan berikut termasuk himpunan sama?

Penyelesaian:

a) A = B  = {3,5,8}, jadi himpunan di atas adalah himpunan sama


b) A  ≠ B , karena A = {5} bukan merupakan himpunan bagian dari  B


c) A ≠ B  <==>  A ⊈ B | B ⊈ A, karena A = {b,d} bukan merupakan himpunan bagian dari B




Sementara segitu dulu ^^ ntar di sambung lagi utk himpunan yg lainnya en operasi-operasinye!